【随時更新】平面曲線の特異点：種々の二重点のリスト

平面曲線の種々の二重点の名称、定義、例および概形を記載する。
名称とその定義（ $y$ -rootと係数の条件）は高次曲線の本*1（の4次曲線の章p.207-209）に従う。
概形の描写はGeoGebraを用いた。
与えられた曲線から（原点の） $y$ -rootを求める方法（Newton-Puiseuxアルゴリズム）に関しては平面曲線の特異点に関する本*2が大変勉強になった。
※以下の表の「分離解」「二重解」の意味はNewton-Puiseuxアルゴリズムに出現するニュートン多角形のスロープから定まる二次方程式の解に関するものである。

名称	$y$ -root	係数の条件	例
*node*	$y=mx^{2/2}$	$m$ :分離解	$y^2=m^2x^2$
*cusp*	$y=mx^{3/2}$	$m$ :分離解	$y^2=m^2x^3$
*tacnode*	$y=m^{4/2}$	$m$ :分離解	$y^2=m^2x^4$
ramphoid cusp/node cusp	$y=mx^{4/2}+nx^{5/2}$	$m$ :二重解; $n$ :分離解	$(y-mx^2)^2=n^2x^5$
oscnode	$y=mx^{4/2}+nx^{6/2}$	$m$ :二重解; $n$ :分離解	$(y-mx^2)^2=n^2x^6$

[特記事項]
二重点の様子で特筆すべきはramphoid cuspやoscnodeの様子である。node以外で、二重点の例として慣れ親しんでいる様子としてはcuspもしくはtacnodeのように接線（上記概形の場合は横軸）を挟んで互いに反対側に分岐する様子であるが、ramphoid cuspやoscnodeは二重点の近傍で同じ側に分岐している。

[その他]
平面曲線の特異点に関しては次のサイトが大変参考になる。
Singular Point -- from Wolfram MathWorld
当記事で載せていない（勉強・検討中の）特異点および曲線が載っているので勉強になる。

*1:A Treatise on the Higher Plane Curves, George Salmon, forgotten books

*2:Singularities of Plane Curves, Eduardo Casas-Alvero, Cambridge University Press

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