My Brain Is Closed

素人のんびり数学日誌

Harmonic range を生成する式の説明

平面曲線上の harmonic range の件古典代数幾何学の勉強の件

　Harmonic range において3点を指定すれば残りの1点は一意的に定まることが分かっている。直線上の3項演算である。であれば何かしら数式を用いて表したいと思う。

harmonic range を、与えられた3点から生成する式を求める方法は、私が求めた限りでは2つある。文献調査を行ってはいなので、もしかしたら既に知られていることかもしれないが、以下に生成式を求める方法を述べようと思う。

第一の方法は、正直に harmonic range の古典的定義から求めるものである。

点 $P_1,P_2,P_3,P_4$ を harmonic range とする。これらの点はその順序で直線 $L$ 上に並べられているとする。

１．点 $P_1$ から直線を適当に引く。

２．点 $P_3$ から適当に直線を引き手順１で引いた直線に交わるようにする。

３．手順１，２で引いた直線の交点から点 $P_2$ へと直線を引く

４．点 $P_1$ から適当に直線を引き手順３で引いた直線に交わるようにする。

５．手順４の交点へと点 $P_3$ から直線を引く。

６．これまでの手順の実行の結果、四角形が形成され一方の対角線の延長線が点 $P_2$ に交わることが分かる。

７．他方の対角線の延長線と直線 $L$ との交点を求める。これが $P_1,P_2,P_3$ から定まる点 $P_4$ となる。

※　ここで「適当に」という言葉の意味は harmonic という性質に担保される任意性を持つ。

以上の手順を直線の方程式を使って実行していけば以下の生成式が求められる：

$P_1=0, P_2=q, P_3=r, P_4=s$ を harmonic range とする時、

$s = qr/(2q-r).$

ただし点 $P_1$ は原点にあるとし、 $2q-r$ は $0$ でないとする。 $2q-r=0$ である、つまり点 $P_1$ と $P_3$ の丁度中間に点 $P_2$ がある場合は点 $P_4$ は無限遠点にある。

第二の方法は anharmonic ratio から求めるものである。つまり3点 $P_1,P_2,P_3$ の座標をを与え anharmonic ratio が $-1$ であるとして点 $P_4$ の座標を求めればよい。

$P_1=0, P_2=q,P_3=r,P_4=s$ として、

$P_1P_2/P_3P_2 : P_1P_4/P_3P_4 = -q/(r-q):-s/(r-s) = -1:1,$

$q(r-s)/s(r-q) = -1,$

$s = qr/(2q-r).$

ただし $2q-r$ は $0$ でないとする。こちらも同様に $2q-r=0$ の場合は $P_4=\infty$ となる。

以上が harmonic range を生成する方法の説明であるが第二の方法に沿って点を射影座標に基づき生成式を求めることができる。こちらについては、ここでは省略する。

実際に値を入れてみよう。

$q=1, r=3$ とすると $s=-3$ 。本当に harmonic か確かめると $P_1P_2/P_3P_2 : P_1P_4/P_3P_4 = -1/-2:3/-6=-1:1$ 。